Cómo derivar la integral de volumen de un HyperSphere

Sólo un círculo es el conjunto de todos los puntos en un equidistante plano bidimensional de un punto central y una esfera es el conjunto de todos los puntos en tres dimensiones equidistantes de un punto central, en las matemáticas existen estructuras análogas , llamadas hiperesferas , en un espacio de dimensión superior a tres que son el conjunto de todos los puntos equidistantes de un punto central. En consecuencia , al igual que el de la integral de volumen de una esfera en tres dimensiones se puede derivar con el cálculo , por lo que pueden los volúmenes enteros de estas figuras de dimensiones superiores . Instrucciones Matemáticas 1

Definir el sistema de coordenadas que se utilizará en el problema. Aunque cualquier sistema de coordenadas puede ser hecho para trabajar , una variación en coordenadas polares esféricas funciona mejor . Como un ejemplo , en un espacio n-dimensional , definir R como la distancia al punto central , theta como el ángulo azimutal y phi1 , phi2 , ... phi ( n - 2 ) como coordenadas angulares que van desde 0 a pi radianes .
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Escribir el volumen básico integral sobre toda la hiperesfera . Esta será la integral de 0 a algunos radio R para r , y sobre la totalidad de los posibles ángulos para cada coordenada angular , 0 a 2pi para theta y 0 a PI por las variables restantes . Las integrales múltiples se toman de 1 a través del elemento de volumen.
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Reemplace el elemento de volumen con los términos apropiados computados desde el determinante Jacobiano . Por ejemplo , para una hiperesfera en cuatro dimensiones , será : .

R ^ 3 sin ^ 2 ( phi1 ) sin ( phi2 ) dr dphi1 dphi2 dtheta

Para obtener más ayuda calcular el jacobiano , consulte el enlace de recursos apropiados .
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Anote la respuesta final después de tomar cada integrante en la sucesión. En nuestro ejemplo de la hiperesfera de cuatro dimensiones de la respuesta final es : .

(Pi ^ 2/2) * radio ^ 4 personas