Clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales

ecuaciones lineales describen líneas rectas o superficies planas multidimensionales . Sistemas de ecuaciones lineales son sistemas de ecuaciones lineales . Se encuentran en muchas disciplinas académicas y técnicas . Ecuaciones lineales se utilizan en las estadísticas , la ingeniería , la física , las finanzas y la economía. Un sistema dado de ecuaciones lineales puede caer en una de las tres categorías. A los efectos de este artículo , el sistema de dos dimensiones siguientes se utilizará como ejemplo:

4x + 5y = 1
4x - 2y = 2 ecuaciones lineales nomenclatura

el rango de un sistema de ecuaciones lineales es el número de filas o columnas de la matriz de coeficientes de este sistema linealmente independientes . La matriz de coeficientes es una cuadrícula de los números que preceden a las variables del sistema. En nuestro ejemplo , la matriz de coeficientes sería:

4 5

4 -2

En una fila ( o columna ) sean linealmente independientes de la otra fila ( o columna ) , debe ser el caso de que una fila ( o columna) no pueden ser producidos por una combinación lineal de otra fila (o columna ) . Usted no debe ser capaz de múltiples todos los elementos de la fila 1 por un solo número para obtener la fila 2. Se puede ver que todas las columnas de nuestro ejemplo coeficientes de la matriz son linealmente independientes , porque no existe un solo número que nos permitiría multiplicar 4 para obtener 5 y -2 . También puede ver que las filas de nuestra matriz de ejemplo son linealmente independientes . No existe un solo número que cuando se multiplica por 4 produce 4 , y cuando se multiplica por 5 produce -2 . Esto significa que el rango de nuestro sistema de ejemplo es 2.

La matriz aumentada es una combinación de la matriz de coeficientes y el vector de solución. En nuestro ejemplo, la matriz aumentada sería:

4 5 1

4 -2 2 Foto

Debido a que esta matriz tiene dos filas , el valor más alto del rango de la matriz ampliada posiblemente puede ser es 2. Por lo tanto , para este ejemplo , el rango de la matriz ampliada es igual al rango de la matriz de coeficientes.
Extender el sistema

en nuestro ejemplo de sistema de ecuaciones , sólo hay dos variables. Las ecuaciones describen líneas en el espacio de dos dimensiones. Si tuviéramos que añadir otro conjunto de variables de las ecuaciones se describen los aviones en el espacio tridimensional. Esto puede extenderse a múltiples dimensiones. En lugar de pensar en términos de sistemas con un número determinado de variables , podemos pensar en términos de un sistema genérico con n variables . Esto nos permite clasificar las propiedades generales de todos los sistemas de ecuaciones sin importar el número de variables en el sistema .
No Solution

Si el rango de la matriz de coeficientes no es igual al rango de la matriz aumentada , no hay solución. No hay un conjunto único de valores que cumpla los requisitos descritos en el sistema de ecuaciones . El sistema de ecuaciones no se puede resolver . Si el sistema no se puede resolver , el sistema se dice que es inconsistente.
Una solución única

Hay un solo conjunto , única de soluciones para el sistema de ecuaciones si el rango de la matriz de coeficientes es igual al rango de la matriz aumentada y ambos son igual al número de columnas de la matriz de coeficientes. Hay un único conjunto de valores que cumpla los requisitos descritos por el sistema de ecuaciones . Si no hay una solución única , el sistema se dice que es independiente.
Un infinito número de soluciones

El sistema de ecuaciones tiene un número infinito de soluciones si las rango de la matriz coeficientes es igual al rango de la matriz ampliada y son tanto menos que el número de filas de la matriz de coeficientes. Thiere es infinitamente grande conjunto de valores que cumplan los requisitos descritos por el sistema de ecuaciones . Si hay un número infinito de soluciones , el sistema se dice que es dependiente.